Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int x \cdot \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \int x \,\operatorname{sec}^2 x\,dx usando o Método da Integração por Partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos aplicar essa ideia ao nosso caso.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma que uma delas seja fácil de derivar e a outra fácil de integrar. Definimos
u = x, \quad dv = \operatorname{sec}^2 x\,dx.
Então
du = dx, \quad v = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x,
pois \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\tan x - \int \tan x\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \int \tan x\,dx. Escrevendo \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e fazendo a troca w=\cos x, dw=-\sin x\,dx, vem
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{dw}{w} = -\ln\lvert w\rvert + C = -\ln\lvert \cos x\rvert + C.

Passo 5

Voltando à nossa expressão,
\int x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx = x\tan x - \bigl(-\ln\lvert \cos x\rvert\bigr) + C = x\tan x + \ln\lvert \cos x\rvert + C.

Resposta

\boxed{\int x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx = x\tan x + \ln\lvert \cos x\rvert + C.}

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