Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int(-3 x+1) \cdot \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int(-3x+1)\cos(5x)\,dx
usando o Método da Integração por Partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\cdot v \;-\;\int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = -3x + 1, \quad dv = \cos(5x)\,dx.
Calculamos então
du = -3\,dx, \quad v = \int \cos(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sin(5x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int(-3x+1)\cos(5x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \bigl(-3x+1\bigr)\frac{1}{5}\sin(5x) - \int \frac{1}{5}\sin(5x)\,(-3)\,dx.

Passo 4

O segundo integral fica
- \int \frac{1}{5}\sin(5x)\,(-3)\,dx = \frac{3}{5}\int \sin(5x)\,dx = \frac{3}{5}\Bigl(-\frac{1}{5}\cos(5x)\Bigr) = -\frac{3}{25}\cos(5x).
Substituindo de volta, a primitiva geral é
\frac{-3x+1}{5}\sin(5x)\;-\;\frac{3}{25}\cos(5x)+C.

Resposta

\int(-3x+1)\cos(5x)\,dx = \frac{1-3x}{5}\sin(5x)\;-\;\frac{3}{25}\cos(5x)+C.

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