Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int(2 x-3) \cdot e^{1-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int(2x - 3)\,e^{1 - 3x}\,dx
usando o método de integração por partes, cujo enunciado é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = 2x - 3, \quad dv = e^{1 - 3x}\,dx.
Então
du = 2\,dx,
e para encontrar v fazemos
v = \int e^{1 - 3x}\,dx.
Com a substituição t = 1 - 3x, dt = -3\,dx, temos
v = \int e^{t}\,\bigl(-\tfrac{1}{3}dt\bigr) = -\tfrac{1}{3}e^{t} = -\tfrac{1}{3}e^{1 - 3x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int(2x - 3)\,e^{1 - 3x}\,dx = u\,v - \int v\,du = (2x - 3)\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{1 - 3x}\Bigr) - \int\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{1 - 3x}\Bigr)\cdot 2\,dx.
Isso é
-\tfrac{2x - 3}{3}\,e^{1 - 3x} + \tfrac{2}{3}\int e^{1 - 3x}\,dx.

Passo 4

Reconhecendo de novo \int e^{1 - 3x}\,dx = -\tfrac{1}{3}e^{1 - 3x}, obtemos
-\tfrac{2x - 3}{3}\,e^{1 - 3x} + \tfrac{2}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{1 - 3x}\Bigr) = \frac{-6x + 9 - 2}{9}\,e^{1 - 3x} = \frac{7 - 6x}{9}\,e^{1 - 3x}.

Resposta

\int(2x - 3)\,e^{1 - 3x}\,dx = \frac{7 - 6x}{9}\,e^{1 - 3x} + C.

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