Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int x^{2} \cdot \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\ln x \,dx
usando o método da integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = x^{2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes, temos
\int x^{2}\ln x \,dx = u\cdot v - \int v\,du = \ln x \cdot \frac{x^{3}}{3} \;-\; \int \frac{x^{3}}{3}\cdot \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Simplificando o integrando restante:
\frac{x^{3}}{3}\cdot \frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{3},
portanto
\int \frac{x^{3}}{3}\cdot \frac{1}{x}\,dx = \int \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
\int x^{2}\ln x \,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x \;-\; \frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x \;-\; \frac{x^{3}}{9} + C

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