Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: integralpi4^pi2 x cosec^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida usando integração por partes. Vamos usar a fórmula de integração por partes e lembrar como integrar e integralpi/4^pi/2 x,cosec^2(x),dx.

Passo 2

Escolhemos as funções para partes: u = x e . Assim, derivando e integrando, temos

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du, obtemos a primitiva:

Passo 4

Agora lembramos que integral cot(x),dx = lnl|sin(x)r| + C. Portanto, uma primitiva geral é:
F(x) = -xcot(x) + lnl|sin(x)r| + C

Passo 5

Para a integral definida, avaliamos F(x) em x=pi/2 e em x=pi/4 e calculamos F(pi/2)-F(pi/4). Primeiro em x=pi/2:
Fl(tfracpi2r) = -tfracpi2cotl(tfracpi2r) + lnl(sintfracpi2r) = -tfracpi2cdot 0 + ln(1) = 0

Passo 6

Agora em x=pi/4:
Fl(tfracpi4r) = -tfracpi4cotl(tfracpi4r) + lnl(sintfracpi4r) = -tfracpi4cdot1 + lnl(tfracraiz22r)
Como ln(tfracraiz22)=ln(2^1/2)-ln2=tfrac12ln2-ln2=-tfrac12ln2, fica
Fl(tfracpi4r) = -tfracpi4 - tfrac12ln2

Passo 7

Subtraindo F(pi/2)-F(pi/4) temos
0 - l(-tfracpi4 - tfrac12ln2r) = tfracpi4 + tfrac12ln2

Resposta

pi4 + 12ln 2

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