Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
integral x e^2 x d x
R: 14(e^2 x cdot 2 x-e^2 x)+c

Passo 1

Então, a gente vai resolver a integral integral x e^2x , dx usando o método de integração por partes. Essa técnica é muito útil quando a integral é o produto de duas funções, como nesse caso. Para isso, vamos precisar identificar duas partes da integral que vamos chamar de u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da integral será u e qual será dv. Uma boa regra é escolher u como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar u = x. Então, teremos:
u = x Rightarrow du = dx

Passo 3

Agora, vamos escolher dv. Como escolhemos u = x, o restante da integral será dv. Então:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = integral e^2x , dx
Para encontrar v, precisamos integrar e^2x. Sabemos que a integral de e^kx é 1k e^kx. Portanto:
v = 12 e^2x

Passo 4

Agora que temos u, du, v e dv, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^2x , dx = x cdot (12 e^2x) - integral (12 e^2x) cdot dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= 12 x e^2x - 12 integral e^2x , dx
Agora, precisamos calcular a integral integral e^2x , dx, que já sabemos ser 12 e^2x. Então:
= 12 x e^2x - 12 cdot 12 e^2x + C

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
= 12 x e^2x - 14 e^2x + C
Podemos fatorar 14 para deixar a expressão mais elegante:
= 14 (2x e^2x - e^2x) + C

Resposta

integral x e^2x , dx = 14(2x e^2x - e^2x) + C

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