Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
R:
R:
Passo 1
Então, a gente vai resolver a integral
usando o método de integração por partes. Essa técnica é muito útil quando a integral é o produto de duas funções, como nesse caso. Para isso, vamos precisar identificar duas partes da integral que vamos chamar de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte da integral será
e qual será
. Uma boa regra é escolher
como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar
. Então, teremos:
Passo 3
Agora, vamos escolher
. Como escolhemos
, o restante da integral será
. Então:
Para encontrar
, precisamos integrar
. Sabemos que a integral de
é
. Portanto:
Passo 4
Agora que temos
,
,
e
, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agora, precisamos calcular a integral
, que já sabemos ser
. Então:
Passo 6
Simplificando os coeficientes:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais elegante: