Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
integral(x+1) e^x d x
R: e^x x+C

Passo 1

Então, vamos resolver a integral integral(x+1) e^x dx usando o método de integração por partes. Integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem às funções u e dv na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral será u e qual será dv . Geralmente, escolhemos u como a função que se simplifica quando derivada. No nosso caso, u = (x + 1) porque a derivada de x + 1 é mais simples.
Então:
u = x + 1
dv = e^x dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v . Para isso, derivamos u e integramos dv :
Derivando u :
du = ddx(x + 1) dx = 1 dx
Integrando dv :
v = integral e^x dx = e^x

Passo 4

Com u , du , v e dv definidos, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores:
integral (x + 1) e^x dx = (x + 1) e^x - integral e^x cdot 1 dx

Passo 5

Agora, simplificamos a integral restante:
(x + 1) e^x - integral e^x dx
Sabemos que integral e^x dx = e^x , então substituímos de volta:
(x + 1) e^x - e^x

Passo 6

Fatorando e^x da expressão:
e^x (x + 1 - 1)
e^x cdot x

Resposta

A integral de (x + 1) e^x é:
e^x cdot x + C

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