Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
integral(e^x-x)^2 d x
R:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de (e^x - x)^2 usando o método de integração por partes. Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente utilizando técnicas de integração para funções que são produtos de outras funções. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão e aplicar a integração por partes onde necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão (e^x - x)^2. Isso facilita a integração, pois transforma a expressão em termos mais simples:
(e^x - x)^2 = e^2x - 2e^xx + x^2
Agora, nossa integral fica:
integral (e^2x - 2e^xx + x^2) , dx

Passo 3

Vamos separar a integral em três partes para facilitar o cálculo:
integral e^2x , dx - 2integral e^xx , dx + integral x^2 , dx
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 4

Começando pela primeira integral:
integral e^2x , dx
Sabemos que a integral de e^ax em relação a x é 1ae^ax. Aqui, a = 2, então:
integral e^2x , dx = 12e^2x + C

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
-2integral e^xx , dx
Aqui, precisamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = e^xdx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral e^xx , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Voltando à nossa expressão original:
-2integral e^xx , dx = -2(x e^x - e^x) = -2x e^x + 2e^x

Passo 6

Por fim, vamos resolver a terceira integral:
integral x^2 , dx
A integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1. Aqui, n = 2, então:
integral x^2 , dx = x^33 + C

Passo 7

Agora, vamos juntar todas as partes que calculamos:
12e^2x - 2x e^x + 2e^x + x^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de (e^x - x)^2 é:
12e^2x - 2x e^x + 2e^x + x^33 + C

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