Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
R:
R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
usando o método de integração por partes. Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente utilizando técnicas de integração para funções que são produtos de outras funções. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão e aplicar a integração por partes onde necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão
. Isso facilita a integração, pois transforma a expressão em termos mais simples:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos separar a integral em três partes para facilitar o cálculo:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 4
Começando pela primeira integral:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui, precisamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Voltando à nossa expressão original:
Passo 6
Por fim, vamos resolver a terceira integral:
A integral de
em relação a
é
. Aqui,
, então:
Passo 7
Agora, vamos juntar todas as partes que calculamos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
é: