Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
R:
R:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando o método de integração por partes. Aqui, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos dividir nossa integral em partes que sejam mais fáceis de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula de integração por partes:
. Precisamos escolher
e
de forma que a integral fique mais simples depois. Vamos optar por:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
, temos . - Para encontrar
, integramos . A integral de é , desde que . Aqui, , então:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral restante:
. Usando a mesma regra de integração:
Passo 6
Substituímos de volta na expressão anterior:
Passo 7
Simplificamos a expressão combinando os termos semelhantes:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Finalmente, expressamos a solução de forma simplificada e adicionamos a constante de integração
:
Resposta
A integral
é igual a
.