Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
integral x(x+1)^-3 / 2 d x
R: 2(x+1)^12+2(x+1)^12+C

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral x(x+1)^-3/2 dx usando o método de integração por partes. Aqui, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos dividir nossa integral em partes que sejam mais fáceis de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula de integração por partes: integral u , dv = uv - integral v , du. Precisamos escolher u e dv de forma que a integral fique mais simples depois. Vamos optar por:
  • u = x
  • dv = (x+1)^-3/2 dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u = x, temos du = dx.
  • Para encontrar v, integramos dv = (x+1)^-3/2 dx. A integral de (x+1)^n dx é (x+1)^n+1n+1, desde que n neq -1. Aqui, n = -3/2, então:
v = integral (x+1)^-3/2 dx = (x+1)^-1/2-1/2 = -2(x+1)^-1/2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x(x+1)^-3/2 dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-2(x+1)^-1/2) - integral (-2(x+1)^-1/2) dx
= -2x(x+1)^-1/2 + 2 integral (x+1)^-1/2 dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante: integral (x+1)^-1/2 dx. Usando a mesma regra de integração:
integral (x+1)^-1/2 dx = (x+1)^1/21/2 = 2(x+1)^1/2

Passo 6

Substituímos de volta na expressão anterior:
-2x(x+1)^-1/2 + 2 cdot 2(x+1)^1/2
= -2x(x+1)^-1/2 + 4(x+1)^1/2

Passo 7

Simplificamos a expressão combinando os termos semelhantes:
= 4(x+1)^1/2 - 2x(x+1)^-1/2
Podemos fatorar 2(x+1)^-1/2:
= 2(x+1)^-1/2 [2(x+1) - x]
= 2(x+1)^-1/2 (2x + 2 - x)
= 2(x+1)^-1/2 (x + 2)

Passo 8

Finalmente, expressamos a solução de forma simplificada e adicionamos a constante de integração C:
2(x+1)^1/2 + 2(x+1)^1/2 + C

Resposta

A integral integral x(x+1)^-3/2 dx é igual a 2(x+1)^12 + 2(x+1)^12 + C.

Exercícios relacionados