Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
integral1^4 ln x d x
R: 8 ln (2)-3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de ln(x) no intervalo de 1 a 4 usando o método de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

No nosso caso, temos ln(x) como parte da integral. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
u = ln(x) e dv = dx

Passo 4

Agora, vamos encontrar du e v. Derivando u:
du = 1x dx
E integrando dv:
v = integral dx = x

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln(x) , dx = uv - integral v , du = x ln(x) - integral x cdot 1x dx
Simplificando a integral restante:
x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a 4:
integral1^4 ln(x) , dx = [ x ln(x) - x ]1^4
Substituindo os limites:
= (4 ln(4) - 4) - (1 ln(1) - 1)
Sabemos que ln(1) = 0, então:
= (4 ln(4) - 4) - (0 - 1) = 4 ln(4) - 4 + 1 = 4 ln(4) - 3

Passo 7

Podemos simplificar ln(4) usando que 4 = 2^2:
ln(4) = ln(2^2) = 2 ln(2)
Então:
4 ln(4) = 4 times 2 ln(2) = 8 ln(2)
Substituindo de volta:
8 ln(2) - 3

Resposta

A integral integral1^4 ln(x) , dx é igual a 8 ln(2) - 3.

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