Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
R:
R:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
no intervalo de 1 a 4 usando o método de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
No nosso caso, temos
como parte da integral. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
e
. Derivando
:
E integrando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a 4:
Substituindo os limites:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Podemos simplificar
usando que
:
Então:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a
.