Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que:
y^{2} \leq x \leq \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano dada por
y^2 <= x <= raizy
Este é um problema de volume de revolução, que podemos resolver usando o método dos anéis (washers). Precisamos expressar os raios interno e externo em função de y e integrar em y.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de y, note que raizy exige y>=0. As curvas se intersectam onde
y^2 = raizy Longrightarrow y^4 = y Longrightarrow y=0 ou y=1
Logo, a região existe para 0<= y<=1.

Passo 3

Ao girar em torno de y, cada seção em altura y é um anel com:
– raio externo Rrm ext = raizy,
– raio interno Rrm int = y^2.
A área desse anel vale
A(y) = pil(Rrm ext^2 - Rrm int^2r) = pil(y - y^4r)

Passo 4

O volume é
V = integraly=0^1 A(y),dy = pi integral0^1 l(y - y^4r),dy
Calculando a integral:
integral0^1 y,dy = tfrac12, integral0^1 y^4,dy = tfrac15,
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V = pil(tfrac12 - tfrac15r) = pi;tfrac310 = 3pi10

Resposta

3pi10

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