Encontre F(s) ou f(t).
Lsen t mho(t-pi2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=sin t,ul(t-pi2r). O conteúdo é Transformada de Laplace e em particular a propriedade de deslocamento em tempo usando a função degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de f(t)u(t-a), com a>0, é dada pela propriedade de deslocamento:
Lf(t-a),u(t-a)=e^-asF(s), onde F(s)=Lf(t).

Passo 3

Perceba que nosso f(t) está na forma sin t,u(t-tfracpi2), mas a propriedade exige f(t- a). Então reescrevemos:
sin t=sinl((t-tfracpi2)+tfracpi2r)=cosl(t-tfracpi2r)
Assim,
sin t,u(t-tfracpi2)=cosl(t-tfracpi2r),u(t-tfracpi2),
ou seja, tem a forma g(t-a)u(t-a) com a=tfracpi2 e g(tau)=costau.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento. A transformada de cos t é
Lcos t=ss^2+1
Logo,
Lcos(t-tfracpi2),u(t-tfracpi2)=e^-tfracpi2scdotss^2+1

Passo 5

Portanto, a transformada de Laplace procurada é
F(s)=ss^2+1,e^-tfracpi2s

Resposta

F(s)= ss^2+1e^-tfracpi2s

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