Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
integral x^2-1(x^3-3 x+1)^6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral integral x^2-1(x^3-3 x+1)^6 , dx usando o método da substituição. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente o método de substituição (também conhecido como mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição adequada. Olhando para o denominador (x^3-3x+1)^6, parece que uma boa escolha seria definir u = x^3 - 3x + 1. Isso porque a derivada de u em relação a x vai aparecer no numerador, o que facilita a substituição.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 3x^2 - 3
Isso significa que:
du = (3x^2 - 3) , dx
Podemos fatorar um 3:
du = 3(x^2 - 1) , dx

Passo 4

Agora, observe que no numerador da nossa integral temos x^2 - 1. Vamos resolver para dx:
du = 3(x^2 - 1) , dx implies dx = du3(x^2 - 1)

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original:
integral x^2-1(x^3-3x+1)^6 , dx = integral x^2-1u^6 cdot du3(x^2 - 1)
Perceba que x^2 - 1 no numerador e denominador vai simplificar:
= integral 13u^6 , du

Passo 6

Agora, a integral está muito mais simples! Vamos resolver:
integral 13u^6 , du = 13 integral u^-6 , du
Integrando u^-6:
13 cdot ( u^-5-5 ) + C = -115 u^-5 + C

Passo 7

Vamos voltar à variável original substituindo u = x^3 - 3x + 1:
-115 (x^3 - 3x + 1)^-5 + C

Resposta

-115 (x^3-3x+1)^5 + C

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