Estude a convergência da série.
sumn=1^infty 1n 3^n-1.

Passo 1

Beleza, vamos estudar se a série sumn=1^infty 1n cdot 3^n-1 converge ou não. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e métodos de teste de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos. Cada termo da série é 1n cdot 3^n-1. Isso significa que, conforme n aumenta, o denominador cresce bastante por causa do 3^n-1, o que faz os termos ficarem menores.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries. Esse teste funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando n tende ao infinito.

Passo 4

Vamos definir an = 1n cdot 3^n-1. Então, queremos calcular:
limn to infty | an+1an |
Substituindo an+1 e an:
limn to infty | 1(n+1) cdot 3^n1n cdot 3^n-1 |

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 6

Dividindo numerador e denominador por n:
limn to infty 13 + 3n = 13 + 0 = 13

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se o limite calculado é L < 1, a série converge. Aqui, L = 13, que é menor que 1.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n cdot 3^n-1 converge.

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