Beleza, vamos estudar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e métodos de teste de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos. Cada termo da série é . Isso significa que, conforme aumenta, o denominador cresce bastante por causa do , o que faz os termos ficarem menores.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries. Esse teste funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito.
Passo 4
Vamos definir . Então, queremos calcular:
Substituindo an+1 e an:
limn to infty | 1(n+1) cdot 3^n1n cdot 3^n-1 |
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 6
Dividindo numerador e denominador por n:
limn to infty 13 + 3n = 13 + 0 = 13
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, se o limite calculado é L < 1, a série converge. Aqui, L = 13, que é menor que 1.