Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
integral xraiz[8]x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xraiz[8]x^2 - 1,dx
usando o método de substituição. É uma integral de uma potência de x^2-1 multiplicada por x.

Passo 2

Como dentro da raiz de índice 8 aparece a expressão x^2 - 1 e sua derivada é 2x, fazemos a substituição
u = x^2 - 1

Passo 3

Derivando, obtemos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Substituindo na integral, ela vira
integral xraiz[8]x^2 - 1,dx = integral 1raiz[8]u;du2 = 12integral u^-tfrac18,du

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
12integral u^-tfrac18,du = 12;u^1 - tfrac181 - tfrac18 = 12;u^tfrac78tfrac78 = 47,u^tfrac78 + C

Passo 5

Voltando a x, temos u^tfrac78=(x^2-1)^tfrac78. Logo a antiderivada é
47,(x^2 - 1)^tfrac78 + C

Resposta

integral xraiz[8]x^2 - 1,dx = 47,(x^2 - 1)^tfrac78 + C

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