Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
integral sen(2 x) cos ^2(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral sin(2x),cos^2(2x),dx
usando o método de substituição. O conteúdo principal é integração por substituição, isto é, identificar uma parte da integral cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição de modo que a derivada de uma função apareça multiplicando. Observamos que
ddxl(cos(2x)r)=-2sin(2x),
então definimos
u = cos(2x), du = -2sin(2x),dx Longrightarrow sin(2x),dx = -tfrac12,du

Passo 3

Reescrevemos a integral em função de u. Como cos^2(2x)=u^2 e sin(2x),dx=-tfrac12,du, temos
integral sin(2x),cos^2(2x),dx = integral u^2l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral u^2,du

Passo 4

Integramos em u. A primitiva de u^2 é u^3/3, logo
-tfrac12integral u^2,du = -tfrac12cdotu^33 + C = -u^36 + C

Passo 5

Voltamos à variável x. Substituindo u=cos(2x), obtemos
-u^36 + C = -cos^3(2x)6 + C

Resposta

-cos^3(2x)6 + C

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