Use a Regra da Cadeia para achar
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais
e
. O problema nos dá as seguintes funções:
Então, vamos precisar entender como
depende de
e
através de
e
. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular derivadas quando uma variável depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de uma variável intermediária. No nosso caso,
depende de
e
, que dependem de
e
.
Para encontrar
e
, usamos:
Vamos calcular cada uma dessas partes.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, precisamos das derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo para encontrar
:
Como
e
, substituímos:
Passo 5
Vamos agora encontrar
:
Substituindo
e
:
Resposta
As derivadas parciais são: