Use a Regra da Cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=x^2+y^3 ; x=scos t ; y=ssen t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t. O problema nos dá as seguintes funções:
z = x^2 + y^3
x = s cos t
y = s sin t
Então, vamos precisar entender como z depende de s e t através de x e y. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular derivadas quando uma variável depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de uma variável intermediária. No nosso caso, z depende de x e y, que dependem de s e t.
Para encontrar partial zpartial s e partial zpartial t, usamos:
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
Vamos calcular cada uma dessas partes.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = 2x
partial zpartial y = 3y^2
Agora, precisamos das derivadas de x e y em relação a s e t:
Para s:
partial xpartial s = cos t
partial ypartial s = sin t
Para t:
partial xpartial t = -s sin t
partial ypartial t = s cos t

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo para encontrar partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s
= 2x cdot cos t + 3y^2 cdot sin t
Como x = s cos t e y = s sin t, substituímos:
= 2(s cos t) cdot cos t + 3(s sin t)^2 cdot sin t
= 2s cos^2 t + 3s^2 sin^3 t

Passo 5

Vamos agora encontrar partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
= 2x cdot (-s sin t) + 3y^2 cdot (s cos t)
Substituindo x e y:
= 2(s cos t) cdot (-s sin t) + 3(s sin t)^2 cdot s cos t
= -2s^2 cos t sin t + 3s^3 sin^2 t cos t

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s cos^2 t + 3s^2 sin^3 t
partial zpartial t = -2s^2 cos t sin t + 3s^3 sin^2 t cos t

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