Utilize a fórmula de derivação implícita para determinar d yd x.
t g^-1(x^2 y)=x+x y^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos a equação
tan^-1(x^2y)=x + x,y^2
e pede para achar dydx usando derivação implícita.
Conteúdo: derivada implícita + regra da cadeia + regra do produto.
O que vamos precisar:
  • Derivar dos dois lados em relação a x.
  • Lembrar que y=y(x), então toda vez que derivar y aparece y'=dydx.
  • Aplicar regra da cadeia em tan^-1(cdot) e produto em xcdot y^2.
  • Isolar y' no final.

Passo 2

Derivando o lado esquerdo tan^-1(u) com u=x^2y:
– Regra da cadeia: ddx[tan^-1(u)]=u'1+u^2.
– Aqui u=x^2y, então
u' = ddx(x^2y) = 2x,y + x^2,y'
Logo
ddxl[tan^-1(x^2y)r] =2x y + x^2y'1+(x^2y)^2

Passo 3

Derivando o lado direito x + x,y^2:
– Derivada de x é 1.
– Em xcdot y^2, use regra do produto:
ddx(xcdot y^2) = ddx(x)cdot y^2 + xcdot ddx(y^2) = 1cdot y^2 + xcdot 2y,y' = y^2 + 2x,y,y'
Somando tudo dá
ddx[,x + x,y^2,] = 1 + y^2 + 2x,y,y'

Passo 4

Agora iguala as duas derivadas:
2xy + x^2y'1+(x^2y)^2 ;=; 1 + y^2 + 2x,y,y'
Multiplica ambos os lados por 1+(x^2y)^2:
2xy + x^2y' ;=; l(1 + y^2 + 2x,y,y'r)l(1+(x^2y)^2r)

Passo 5

Isolando os termos com y':
  1. Expande só o que tem y' no lado direito:
2xy + x^2y' = (1+y^2)l(1+(x^2y)^2r) ;+; 2x,y,y',l(1+(x^2y)^2r)
  1. Leva o termo com y' do segundo membro para o esquerdo:
x^2y' ;-; 2x,y,y',l(1+(x^2y)^2r) = (1+y^2)l(1+(x^2y)^2r) ;-; 2xy
  1. Fatora y':
y',l[x^2 ;-; 2x,y,(1+(x^2y)^2)r] = (1+y^2)l(1+(x^2y)^2r) ;-; 2xy
  1. Divide pelo fator que multiplica y':

Resposta

boxed dydx =; (1+y^2)l(1+(x^2y)^2r);-;2x,y ,x^2;-;2x,y,(1+(x^2y)^2),

Exercícios relacionados