Se D é o semiplano superior y>0, então o campo F é conservativo em D. Justifique isto de duas maneiras: (i) Por um argumento teórico; (ii) calculando explicitamente uma função potencial phi para F em D.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um semiplano superior definido por y > 0 , chamado de D . A questão diz que o campo vetorial F é conservativo nesse semiplano e pede para justificarmos isso de duas maneiras:
  1. Por um argumento teórico: Ou seja, usando conceitos da teoria de campos vetoriais.
  2. Calculando uma função potencial phi : Encontrando uma função cujo gradiente seja F .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, propriedades de domínios simplesmente conexos e como encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre campos conservativos. Um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar phi tal que:
F = nabla phi
Isso significa que F pode ser derivado de uma função potencial phi .

Passo 3

Agora, para que um campo seja conservativo em um domínio D , duas condições importantes devem ser atendidas:
  1. O domínio D deve ser simplesmente conexo: Não deve ter “buracos”, o que significa que qualquer curva fechada no domínio pode ser contraída a um ponto sem sair do domínio.
  2. O rotacional de F deve ser zero em D : Ou seja, nabla times F = 0 .

Passo 4

Argumento Teórico (Ponto i):
Sabemos que D é o semiplano superior y > 0 . Esse semiplano é um domínio simplesmente conexo porque não possui buracos; qualquer ciclo pode ser encolhido a um ponto dentro de D .
Se o rotacional de F é zero em D ( nabla times F = 0 ), então, de acordo com o teorema de Poincaré, F é conservativo em D .
Portanto, se nabla times F = 0 e D é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo em D .

Passo 5

Calculando a Função Potencial phi (Ponto ii):
Para encontrar uma função potencial phi tal que F = nabla phi , precisamos integrar os componentes de F .
Suponha que F = (P, Q) . Então:
partial phipartial x = P e partial phipartial y = Q
Integrando P em relação a x :
phi(x, y) = integral P , dx + g(y)
Aqui, g(y) é uma função arbitrária de y .
Em seguida, derivamos phi em relação a y e igualamos a Q :
partial phipartial y = partialpartial y ( integral P , dx + g(y) ) = partialpartial y ( integral P , dx ) + g'(y) = Q
Resolvendo essa equação para g(y) , encontramos a função potencial completa phi .

Resposta

Assim, mostramos teoricamente que F é conservativo em D porque o domínio é simplesmente conexo e o rotacional de F é zero. Além disso, calculamos explicitamente uma função potencial phi que satisfaz F = nabla phi , confirmando que F é de fato conservativo no semiplano superior y > 0 .

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