Se
é o semiplano superior
, então o campo
é conservativo em
. Justifique isto de duas maneiras: (i) Por um argumento teórico; (ii) calculando explicitamente uma função potencial
para
em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um semiplano superior definido por
, chamado de
. A questão diz que o campo vetorial
é conservativo nesse semiplano e pede para justificarmos isso de duas maneiras:
- Por um argumento teórico: Ou seja, usando conceitos da teoria de campos vetoriais.
- Calculando uma função potencial
: Encontrando uma função cujo gradiente seja .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, propriedades de domínios simplesmente conexos e como encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre campos conservativos. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que
pode ser derivado de uma função potencial
.
Passo 3
Agora, para que um campo seja conservativo em um domínio
, duas condições importantes devem ser atendidas:
- O domínio
deve ser simplesmente conexo: Não deve ter “buracos”, o que significa que qualquer curva fechada no domínio pode ser contraída a um ponto sem sair do domínio. - O rotacional de
deve ser zero em : Ou seja, .
Passo 4
Argumento Teórico (Ponto i):
Sabemos que
é o semiplano superior
. Esse semiplano é um domínio simplesmente conexo porque não possui buracos; qualquer ciclo pode ser encolhido a um ponto dentro de
.
Se o rotacional de
é zero em
(
), então, de acordo com o teorema de Poincaré,
é conservativo em
.
Portanto, se
e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo em
.
Passo 5
Calculando a Função Potencial
(Ponto ii):
Para encontrar uma função potencial
tal que
, precisamos integrar os componentes de
.
Suponha que
. Então:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo essa equação para
, encontramos a função potencial completa
.
Resposta
Assim, mostramos teoricamente que
é conservativo em
porque o domínio é simplesmente conexo e o rotacional de
é zero. Além disso, calculamos explicitamente uma função potencial
que satisfaz
, confirmando que
é de fato conservativo no semiplano superior
.