Qual definição matemática formal de um polinômio? (A expressão) * 10 pontos

Passo 1

O enunciado pede a definição formal de um polinômio, ou seja, queremos a expressão geral que descreve um polinômio em um indeterminado x cujos coeficientes pertencem a um conjunto (geralmente um anel ou corpo) K. Para isso, vamos ver como se constrói essa expressão e quais condições impomos aos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, fixamos um anel (ou corpo) K, que é o conjunto de onde vêm os coeficientes. Chamamos de indeterminado a letra x, porque não atribuímos a ela valor numérico: ela serve apenas para catalogar os termos pelo seu grau.

Passo 3

Um polinômio de grau n em x sobre K é uma combinação linear finita de potências de x. Especificamente, dizemos que existem coeficientes
a0, a1, a2, dots, an in K
com an neq 0, tais que o polinômio p é dado por

Passo 4

p(x)=a0 + a1x + a2x^2 + cdots + anx^n
Aqui
  • o inteiro n é chamado de grau de p,
  • a0 é o termo constante,
  • e cada ak é o coeficiente de x^k.

Resposta

p(x)=sumk=0^n ak,x^k,com akin K e anneq 0

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