Suponha que
x(t)= 1, & 0 <= t <= 1 0, & caso contrário , á
e h(t)=x(t / alpha), sendo 0<alpha <= 1.
a) Determine e esboce o sinal y(t)=x(t) * h(t);
b) Se d y(t) / d t apresenta somente três descontinuidades, qual o valor de alpha ?

Passo 1

O enunciado pede para convoluir dois sinais retangulares e depois analisar as descontinuidades da derivada do resultado. O conteúdo é convolução de sinais no tempo contínuo e vamos precisar usar a definição de convolução como integral de sobreposição.

Passo 2

O sinal x(t) é um pulso unitário em [0,1]. O sinal h(t)=x(t/α) é outro pulso de altura 1 e duração α, pois é 1 quando 0≤t/α≤1, ou seja, 0≤t≤α, e zero fora desse intervalo.

Passo 3

Para achar y(t)=x(t)*h(t) usamos a interpretação geométrica: y(t) é a área de sobreposição dos dois retângulos quando um deles (h) é deslocado em t. Em cada t, essa área equivale ao comprimento do intervalo de λ em [0,1]∩[t−α,t].

Passo 4

Calculando o comprimento da intersecção obtemos o resultado em forma de trecho: para t<0 ou t>1+α, y(t)=0; para 0≤t<α, y(t)=t (rampa crescente); para α≤t≤1, y(t)=α (região constante); para 1< t ≤1+α, y(t)=1+α−t (rampa decrescente).

Passo 5

O esboço de y(t) tem rampa crescente de 0 até t=α chegando ao valor α, depois mantém-se em α até t=1, e aí faz rampa decrescente até zero em t=1+α.

Passo 6

A derivada dy/dt muda de valor em t=0, t=α, t=1 e t=1+α. Para que haja apenas três descontinuidades, deve acontecer que duas dessas abscissas coincidam. Como α≤1, o único caso é α=1, que faz α e 1 se juntarem.

Passo 7

Com α=1 a forma de y(t) vira um triângulo simétrico de base em [0,2] e pico 1 em t=1, e dy/dt é descontínua apenas em t=0,1,2.

Resposta

A expressão de y(t) é
y(t)= 0, & t<0, t, & 0<= t<alpha, alpha, & alpha<= t<=1, 1+alpha - t, & 1< t<=1+alpha, 0, & t>1+alpha,
e o valor de alpha que dá exatamente três descontinuidades em dy/dt é alpha=1.

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