Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
[2]
integral e^xe^2 x+16 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^xe^2x+16,dx
usando o método de substituição. Esse método consiste em definir uma nova variável u de modo que du apareça no integrando, transformando a integral numa forma mais simples. Aqui vamos usar que a derivada de e^x é e^x e a fórmula
integral duu^2 + a^2 = 1aarctan!l(uar) + C

Passo 2

Definimos a substituição
u = e^x
Então, diferenciando, obtemos
du = e^x,dx,
ou seja e^x,dx = du.

Passo 3

Substituindo u = e^x e e^x,dx = du na integral original, temos
integral e^xe^2x+16,dx = integral duu^2+16

Passo 4

Reconhecemos que
integral duu^2+16
é do tipo integral du/(u^2 + a^2) com a^2=16, logo a=4. Aplicando a fórmula, vem
integral duu^2+16 = 14arctan!l(u4r) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u = e^x. Assim, a primitiva fica
14arctan!l(e^x4r) + C

Resposta

14arctan!l(tfrace^x4r) + C

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