(Olimpíadas Colombianas de Matemática/2010). Seja x um número real satisfazendo a equação 4^x-4^x-1=24. Determinar o valor de 32^1x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar xinR que satisfaz
4^x-4^x-1=24
e, em seguida, calcular 32^1x.
O conteúdo envolvido é o de equações exponenciais e leis de potência.

Passo 2

Para resolver
4^x-4^x-1=24
fatoramos 4^x-1:
4^x-4^x-1=4^x-1(4-1)=3cdot4^x-1
Logo,
3cdot4^x-1=24 Longrightarrow 4^x-1=8
Escrevendo em base 2, temos
(2^2)^,x-1=2^3 Longrightarrow 2^2(x-1)=2^3 Longrightarrow 2(x-1)=3 Longrightarrow x-1=tfrac32 Longrightarrow x=tfrac52

Passo 3

Agora calculamos
32^1x
Como 32=2^5 e x=tfrac52,
32^1x =(2^5)^1x =2^5x =2^55/2 =2^2 =4

Resposta

4

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