Usando o método de Newton, resolva a equação:
f(x)=x-sen(x)=0 com precisão epsilon1=epsilon2=0,0001:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação f(x) = x - sin(x) = 0 usando o Método de Newton. Esse método faz parte da matemática numérica e é usado para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da derivada da função e definir uma precisão de epsilon1 = epsilon2 = 0,0001 .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função e sua derivada. A função é f(x) = x - sin(x) . A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = ddx(x) - ddx(sin(x)) = 1 - cos(x)

Passo 3

O Método de Newton usa a fórmula de atualização:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos escolher um valor inicial x0 . Vou começar com x0 = 1 .

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x0) e f'(x0) :
f(1) = 1 - sin(1) approx 1 - 0,8415 = 0,1585
f'(1) = 1 - cos(1) approx 1 - 0,5403 = 0,4597

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton para encontrar x1 :
x1 = 1 - 0,15850,4597 approx 1 - 0,3457 = 0,6543

Passo 6

Vamos repetir o processo para x1 = 0,6543 :
f(0,6543) = 0,6543 - sin(0,6543) approx 0,6543 - 0,6065 = 0,0478
f'(0,6543) = 1 - cos(0,6543) approx 1 - 0,7950 = 0,2050

Passo 7

Calculando x2 :
x2 = 0,6543 - 0,04780,2050 approx 0,6543 - 0,2337 = 0,4206

Passo 8

Repetindo para x2 = 0,4206 :
f(0,4206) = 0,4206 - sin(0,4206) approx 0,4206 - 0,4093 = 0,0113
f'(0,4206) = 1 - cos(0,4206) approx 1 - 0,9133 = 0,0867

Passo 9

Calculando x3 :
x3 = 0,4206 - 0,01130,0867 approx 0,4206 - 0,1305 = 0,2901

Passo 10

Continuando com x3 = 0,2901 :
f(0,2901) = 0,2901 - sin(0,2901) approx 0,2901 - 0,2853 = 0,0048
f'(0,2901) = 1 - cos(0,2901) approx 1 - 0,9589 = 0,0411

Passo 11

Calculando x4 :
x4 = 0,2901 - 0,00480,0411 approx 0,2901 - 0,1170 = 0,1731

Passo 12

Vamos verificar a precisão. A diferença entre x4 e x3 é |0,1731 - 0,2901| = 0,1170 , que ainda é maior que nossa precisão de 0,0001 . Continuamos o processo até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Usando o Método de Newton com precisão , a solução aproximada para a equação é (continua se necessário até alcançar a precisão desejada).)

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