Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c :
f(x, y)=3 x-7 y, c=0, \pm 1, \pm 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
f(x,y)=3x-7y
para os valores c=0,\pm1,\pm2. O conteúdo é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis, que são conjuntos de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

A curva de nível correspondente a um valor c é dado por
3x - 7y = c.

Passo 3

Para visualizar melhor cada curva, resolvemos em função de y:
3x - 7y = c \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3}{7}\,x \;-\;\frac{c}{7}.

Passo 4

Da expressão y=\tfrac{3}{7}x - \tfrac{c}{7} vemos que todas as curvas são retas com inclinação constante m=\tfrac{3}{7}, variando apenas o coeficiente linear b=-\tfrac{c}{7}. Logo são retas paralelas, deslocadas verticalmente conforme c.

Passo 5

Substituindo cada c obtemos os cinco casos:
Para c=0: y=\tfrac{3}{7}x.
Para c=1: y=\tfrac{3}{7}x - \tfrac{1}{7}.
Para c=-1: y=\tfrac{3}{7}x + \tfrac{1}{7}.
Para c=2: y=\tfrac{3}{7}x - \tfrac{2}{7}.
Para c=-2: y=\tfrac{3}{7}x + \tfrac{2}{7}.

Resposta

As curvas de nível são cinco retas paralelas de inclinação \tfrac{3}{7} e interceptos no eixo y dados por -\tfrac{c}{7} para c=0,\pm1,\pm2.

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