Determine as derivadas das funções abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
é a função secante, que pode ser escrita como . Para que esteja definida é preciso . -
é a raiz quadrada; está definida para . A derivada de (no sentido usual) exige para ficar finita. - A tarefa é calcular
, a derivada de em pontos onde ela existe.
Passo 2
Relembrando regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade: a derivada da soma/diferença e do fator constante:
onde
é constante.
- Regra da potência (válida para exponentes reais): se
, então
Usaremos isso com
para
.
- Regra da cadeia (para composições): se
podemos derivar como na regra da potência multiplicando por . Aplicaremos isso quando escrever .
Passo 3
Derivada de
. Escrevo
como potência de
:
Aplicando a regra da cadeia / potência: tome
e
. Então
Sabemos que
. Substituindo:
Agora simplifico escrevendo
. Concluímos:
Passo 4
Derivada de
. Primeiro escrevo
. Pela regra da potência,
Multiplicando pelo fator
(pela linearidade),
Passo 5
Combino as duas derivadas usando linearidade (derivada da diferença é diferença das derivadas):
Observação sobre existência: essa expressão só faz sentido onde
e
têm derivada — isto é, para
e
. Em pontos com
ou
a derivada não está dada por essa fórmula.
Passo 6
Dica rápida para a prova: escreva sempre
quando precisar derivar, e
para aplicar a regra da potência. Isso evita decorar fórmulas sem entender e é rápido de aplicar no caderno.