Determine as derivadas das funções abaixo:
(b) h(t)=\operatorname{sec} (t)-4 \sqrt{t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(t)=\operatorname{sec}(t)-4\sqrt{t}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • \operatorname{sec}(t) é a função secante, que pode ser escrita como \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}. Para que \operatorname{sec}(t) esteja definida é preciso \cos(t)\neq 0.
  • \sqrt{t} é a raiz quadrada; está definida para t\ge 0. A derivada de \sqrt{t} (no sentido usual) exige t>0 para ficar finita.
  • A tarefa é calcular h'(t), a derivada de h em pontos onde ela existe.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: a derivada da soma/diferença e do fator constante:
\frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=f'(t)+g'(t), \qquad \frac{d}{dt}\bigl(c\cdot f(t)\bigr)=c\cdot f'(t),
onde c é constante.
  • Regra da potência (válida para exponentes reais): se f(t)=t^{\alpha}, então
\frac{d}{dt}t^{\alpha}=\alpha\,t^{\alpha-1}.
Usaremos isso com \alpha=\tfrac{1}{2} para \sqrt{t}=t^{1/2}.
  • Regra da cadeia (para composições): se f(t)=(u(t))^{n} podemos derivar como na regra da potência multiplicando por u'(t). Aplicaremos isso quando escrever \operatorname{sec}(t)=(\cos t)^{-1}.

Passo 3

Derivada de \operatorname{sec}(t). Escrevo \operatorname{sec}(t) como potência de \cos:
\operatorname{sec}(t)=(\cos t)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia / potência: tome u(t)=\cos t e u(t)^{-1}. Então
\frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot\frac{d}{dt}(\cos t).
Sabemos que \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t. Substituindo:
\frac{d}{dt}\operatorname{sec}(t) = -(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^{2}t}.
Agora simplifico escrevendo \dfrac{\sin t}{\cos^{2}t}=\dfrac{1}{\cos t}\cdot\dfrac{\sin t}{\cos t}=\operatorname{sec}(t)\tan(t). Concluímos:
\frac{d}{dt}\operatorname{sec}(t)=\operatorname{sec}(t)\tan(t).

Passo 4

Derivada de -4\sqrt{t}. Primeiro escrevo \sqrt{t}=t^{1/2}. Pela regra da potência,
\frac{d}{dt}t^{1/2}=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}} \quad\text{(válido para }t>0\text{)}.á
Multiplicando pelo fator -4 (pela linearidade),
\frac{d}{dt}\bigl(-4\sqrt{t}\bigr)=-4\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}=-2\,t^{-1/2}=-\frac{2}{\sqrt{t}}.

Passo 5

Combino as duas derivadas usando linearidade (derivada da diferença é diferença das derivadas):
h'(t)=\frac{d}{dt}\operatorname{sec}(t)-\frac{d}{dt}\bigl(4\sqrt{t}\bigr)=\operatorname{sec}(t)\tan(t)-\frac{2}{\sqrt{t}}.
Observação sobre existência: essa expressão só faz sentido onde \operatorname{sec}(t) e \sqrt{t} têm derivada — isto é, para t>0 e \cos(t)\neq 0. Em pontos com t=0 ou \cos(t)=0 a derivada não está dada por essa fórmula.

Passo 6

Dica rápida para a prova: escreva sempre \operatorname{sec}(t)=(\cos t)^{-1} quando precisar derivar, e \sqrt{t}=t^{1/2} para aplicar a regra da potência. Isso evita decorar fórmulas sem entender e é rápido de aplicar no caderno.

Resposta

\operatorname{sec}(t)\tan(t)-\dfrac{2}{\sqrt{t}}

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