Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int \frac{x}{\sqrt{1+3 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1+3x^{2}}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos usar a ideia de transformar a expressão dentro da raiz em uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos
u = 1 + 3x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{6}\,du.
Substituindo na integral original, fica
\int \frac{x}{\sqrt{1+3x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\Bigl(x\,dx\Bigr) = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{6} e voltando à variável x, temos
\frac{1}{6}\cdot 2\,u^{\tfrac12} + C = \frac{1}{3}\,\sqrt{u} + C = \frac{1}{3}\,\sqrt{1+3x^{2}} + C.

Resposta

\frac{1}{3}\sqrt{1+3x^{2}} + C

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