Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1+e^{x}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1+e^{x}}}\,dx.
O conteúdo aqui é o método de substituição: identificamos uma parte interna da função cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 1 + e^{x}.
Então
du = e^{x}\,dx,
e o numerador e^{x}\,dx é exatamente du.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1+e^{x}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\,du = \int u^{-\tfrac12}\,du.
Agora basta integrar uma potência de u.

Passo 4

A primitiva de u^{-\tfrac12} é
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12} + C.
Voltando à variável x, temos u^{\tfrac12} = \sqrt{1+e^{x}}.

Resposta

2\sqrt{1+e^{x}} + C

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