Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int_{0}^{1} x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. A ideia é escolher u como a expressão interna de \cos, cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Definimos
u = x^{4}.
Diferenciando, obtemos
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração para u. Quando x=0, u=0^{4}=0. Quando x=1, u=1^{4}=1. Assim a integral vira
\int_{0}^{1}x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = \int_{u=0}^{u=1}\cos(u)\,\frac{du}{4}.

Passo 4

Fatorando 1/4, fica
\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.
Como \displaystyle \int\cos(u)\,du=\sin(u), temos
\frac{1}{4}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(1)-\sin(0)\bigr) = \frac{1}{4}\sin(1).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin(1)

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