Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x
usando substituição. Note que o integrando fica singular em x=\pi/2, pois \cos(\pi/2)=0. Logo, trata-se de uma integral imprópria.

Passo 2

Identificamos que
\frac{d}{d x}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr) =\operatorname{sec} x\tan x =\frac{\sin x}{\cos^{2}x},
então uma primitiva de \sin x/\cos^{2}x é \operatorname{sec} x.

Passo 3

Como há singularidade em x=\pi/2, escrevemos
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x = \lim_{b\to(\pi/2)^-}\int_{0}^{b}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x + \lim_{a\to(\pi/2)^+}\int_{a}^{\pi}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x.

Passo 4

Para a primeira parte:
\int_{0}^{b}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x =\bigl[\operatorname{sec} x\bigr]_{0}^{b} =\operatorname{sec} b-\sec0.
Como \sec0=1 e \lim_{b\to(\pi/2)^-}\operatorname{sec} b=+\infty, temos
\lim_{b\to(\pi/2)^-}(\operatorname{sec} b-\sec0)=+\infty.
Para a segunda parte:
\int_{a}^{\pi}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x =\bigl[\operatorname{sec} x\bigr]_{a}^{\pi} =\operatorname{sec}\pi-\operatorname{sec} a =-1-\operatorname{sec} a.
Como \lim_{a\to(\pi/2)^+}\operatorname{sec} a=-\infty, segue
\lim_{a\to(\pi/2)^+}(-1-\operatorname{sec} a)=+\infty.
Cada parcela diverge para +\infty, logo a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral
\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\cos^{2}x}d x
é divergente (não converge).

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