Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int_{1}^{2} 3 x e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} 3x\,e^{x^{2}}\,dx
usando o método de substituição. Aqui reconhecemos que a derivada de x^{2} é proporcional a x, o que indica usar u = x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du
Logo,
3x\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{3}{2}\,du.

Passo 3

Alteramos também os limites de integração:
quando x=1, u=1^{2}=1;
quando x=2, u=2^{2}=4.
Portanto,
\int_{1}^{2} 3x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} \frac{3}{2}\,e^{u}\,du.

Passo 4

Extraímos a constante \tfrac{3}{2} e integramos:
\int_{1}^{4} \frac{3}{2}\,e^{u}\,du = \frac{3}{2}\,\int_{1}^{4} e^{u}\,du = \frac{3}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{4} = \frac{3}{2}\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr)

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