Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int_{-\pi / 2}^{\pi} 5 x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\pi/2}^{\pi}5x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Vamos identificar a parte interna do cosseno para definir u.

Passo 2

Definimos
u = x^{4},
Logo,
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo no integrando, obtemos
5x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = 5\cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{5}{4}\cos(u)\,du.
A primitiva em u é
\int \frac{5}{4}\cos(u)\,du = \frac{5}{4}\sin(u)+C = \frac{5}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr)+C.

Passo 4

Agora avaliamos de -\pi/2 a \pi. Quando x=\pi, temos u=\pi^{4}. Quando x=-\pi/2, temos
u = \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{4} = \frac{\pi^{4}}{16}.
Portanto
\int_{-\pi/2}^{\pi}5x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = \left[\frac{5}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr)\right]_{-\pi/2}^{\pi} = \frac{5}{4}\Bigl(\sin(\pi^{4}) - \sin\bigl(\tfrac{\pi^{4}}{16}\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{5}{4}\Bigl(\sin(\pi^{4}) - \sin\bigl(\tfrac{\pi^{4}}{16}\bigr)\Bigr).

Exercícios relacionados