Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x^{3}} \,dx
usando o método de substituição. Para isso, vamos usar a ideia de escolher u=g(x) de modo que a integral em x vire uma integral mais simples em u.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{3}, \qquad du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Quando x=0 temos u=0 e quando x=1 temos u=1.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x^{3}} \,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar e^{u} e aplicar os limites:
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \frac{e-1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{3}

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