Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int x \sin \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que dentro do seno temos a função composta x^{2} e que sua derivada está quase inteira no integrando.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x^{2}.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo em
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
temos
\int x \sin(u)\,dx =\int \sin(u)\,\bigl(x\,dx\bigr) =\int \sin(u)\,\tfrac{1}{2}\,du =\tfrac{1}{2}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora basta integrar em u:
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo
\tfrac{1}{2}\int \sin(u)\,du =-\tfrac{1}{2}\cos(u) + C.
Voltando a x,
-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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