Resolva as integrais:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2}+x}\,dx.
Este é um exercício de integração de função racional; vamos precisar fatorar o denominador, simplificar a fração e usar divisão de polinômios (ou frações parciais) para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Fatoramos o denominador e simplificamos a fração:
\frac{x^{2}}{x^{2}+x} = \frac{x^{2}}{x(x+1)} = \frac{x}{x+1},\quad x\neq 0.

Passo 3

Para achar uma forma mais simples de integrar, dividimos polinômios:
\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}.

Passo 4

Agora obtemos a antiderivada de cada termo:
\int \Bigl(1 - \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int \frac{1}{x+1}\,dx = x - \ln(x+1) + C.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
\Bigl[x - \ln(x+1)\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(1 - \ln 2\bigr) - \bigl(0 - \ln 1\bigr) = 1 - \ln 2.

Resposta

1 - \ln 2

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