Resolva as integrais:
\int_{0}^{1}\left(5 x^{3}-\frac{1}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(5x^{3}-\tfrac{1}{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômios e o que usaremos é a regra de potência para encontrar a primitiva e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar no intervalo.

Passo 2

Calcule uma primitiva F(x) de 5x^{3}-\tfrac12. Usando a regra de potência:
\int 5x^{3}\,dx = 5\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{5}{4}x^{4},
\int \bigl(-\tfrac12\bigr)\,dx = -\tfrac12\,x.
Portanto,
F(x)=\frac{5}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x.

Passo 3

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1}\bigl(5x^{3}-\tfrac12\bigr)\,dx =F(1)-F(0) =\Bigl(\frac{5}{4}\cdot1^{4}-\frac12\cdot1\Bigr)-\Bigl(\frac{5}{4}\cdot0^{4}-\frac12\cdot0\Bigr) =\frac{5}{4}-\frac{1}{2} =\frac{5-2}{4} =\frac{3}{4}.

Resposta

\tfrac{3}{4}

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