Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso entra na matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
e ver se todos dão o mesmo resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema escolhendo um caminho fácil: y = 0.
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho: x = 0.
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos complicar um pouquinho e escolher o caminho y = x.
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos comparar os resultados que obtivemos:
- Ao longo de
, o limite é 0. - Ao longo de
, o limite é 0. - Ao longo de
, o limite é .
Como obtivemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe.