Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+x y+y^2 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso entra na matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a e ver se todos dão o mesmo resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o problema escolhendo um caminho fácil: y = 0.
Substituindo x cdot 0x^2 + x cdot 0 + 0^2 = 0x^2 = 0 na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho: x = 0.
Substituindo 0 cdot y0^2 + 0 cdot y + y^2 = 0y^2 = 0 na função:
Então, ao longo do caminho , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos complicar um pouquinho e escolher o caminho y = x.
Substituindo x cdot xx^2 + x cdot x + x^2 = x^23x^2 = 13 na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 5

Agora, vamos comparar os resultados que obtivemos:
  • Ao longo de , o limite é 0.
  • Ao longo de , o limite é 0.
  • Ao longo de , o limite é .
Como obtivemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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