Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral 3 x-1raizx^2-16 d x

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular integral 3x-1raizx^2-16,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração com expressões do tipo raizx^2 - a^2, e vamos usar a substituição x = asectheta.

Passo 2

Escolhemos a substituição x = 4sectheta. Daí:
raizx^2-16 = 4tantheta, dx = 4secthetatantheta,dtheta
Substituindo no integrando e simplificando:
$$\int \frac{3x-1}{\sqrt{x^2-16}},dx
= \int \frac{3(4\sec\theta)-1}{4\tan\theta},4\sec\theta\tan\theta,d\theta integral 3x-1raizx^2-16,dx = integral 3(4sectheta)-14tantheta,4secthetatantheta,dtheta\int (12\sec\theta -1)\sec\theta,d\theta
= \int (12\sec^2\theta - \sec\theta),d\theta. integral (12sectheta -1)sectheta,dtheta = integral (12sec^2theta - sectheta),dthetaé
12\tan\theta - \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.
integral sec^2theta,dtheta = tantheta
12\tan\theta - \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C
= 3\sqrt{x^2-16} - \ln\Bigl|\frac{x + \sqrt{x^2-16}}{4}\Bigr| + C
= 3\sqrt{x^2-16} - \ln|x + \sqrt{x^2-16}| + C.$$

Resposta

3raizx^2-16 - ln|x + raizx^2-16| + C

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