Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração com expressões do tipo
, e vamos usar a substituição
.
Passo 2
Escolhemos a substituição
. Daí:
Substituindo no integrando e simplificando:
$$\int \frac{3x-1}{\sqrt{x^2-16}},dx
= \int \frac{3(4\sec\theta)-1}{4\tan\theta},4\sec\theta\tan\theta,d\theta
\int (12\sec\theta -1)\sec\theta,d\theta
= \int (12\sec^2\theta - \sec\theta),d\theta.
12\tan\theta - \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.
12\tan\theta - \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C
= 3\sqrt{x^2-16} - \ln\Bigl|\frac{x + \sqrt{x^2-16}}{4}\Bigr| + C
= 3\sqrt{x^2-16} - \ln\Bigl|\frac{x + \sqrt{x^2-16}}{4}\Bigr| + C
= 3\sqrt{x^2-16} - \ln|x + \sqrt{x^2-16}| + C.$$