; onde
é a região limitada pela parábola
, pela reta
e pelo eixo
.
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular a integral dupla de uma função que depende só de x sobre a região D limitada pela parábola y=x², pela reta x=1 e pelo eixo x. O conteúdo principal é aplicação do Teorema de Fubini para integrar em ordem dy dx, além de usar substituição para a integral em x.
Passo 2
Como D fica entre o eixo x (y=0) e a parábola y=x² para 0≤x≤1, escrevemos a integral iterada:
Na integral interna, x é constante, então
Logo a integral vira só em x:
Para resolver, fazemos a substituição u=x^3, então du=3x^2dx (ou x^2dx=du/3) e, quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim