3^ ® Questão:(4.0 pontos) Calcu<= as integrais: ã
integral duplaD e^x^3 d A; onde D é a região limitada pela parábola y=x^2, pela reta x=1 e pelo eixo x.

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral dupla de uma função que depende só de x sobre a região D limitada pela parábola y=x², pela reta x=1 e pelo eixo x. O conteúdo principal é aplicação do Teorema de Fubini para integrar em ordem dy dx, além de usar substituição para a integral em x.

Passo 2

Como D fica entre o eixo x (y=0) e a parábola y=x² para 0≤x≤1, escrevemos a integral iterada:
integral duplaD e^x^3,dA = integralx=0^1l(integraly=0^x^2 e^x^3 ,dyr)dx
Na integral interna, x é constante, então
integraly=0^x^2 e^x^3 ,dy = e^x^3cdotl[yr]0^x^2 = x^2,e^x^3
Logo a integral vira só em x:
integral0^1 x^2,e^x^3 ,dx
Para resolver, fazemos a substituição u=x^3, então du=3x^2dx (ou x^2dx=du/3) e, quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
integral0^1 x^2e^x^3dx = 13integral0^1 e^u ,du = 13l[e^ur]0^1 = e-13

Resposta

e-13

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