Determine a equação da reta tangente à curva gamma no ponto indicado. c) S_{1}: z=y^{2}-x^{2} e S_{2}: x^{2}+y^{2}=1, no ponto (1,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva \gamma dada pela interseção de
S_{1}: z = y^{2} - x^{2}
e
S_{2}: x^{2} + y^{2} = 1
no ponto (1,0,-1). Para encontrar a reta tangente, vamos usar que o vetor tangente é perpendicular aos vetores normais de ambas as superfícies, ou seja, é dado pelo produto vetorial dos gradientes de S_{1} e S_{2}.

Passo 2

Definimos as funções implícitas
F_{1}(x,y,z) = z - y^{2} + x^{2}, \quad F_{2}(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - 1.
Os gradientes são
\nabla F_{1}(x,y,z) = \bigl(2x,\,-2y,\,1\bigr), \quad \nabla F_{2}(x,y,z) = \bigl(2x,\,2y,\,0\bigr).

Passo 3

Avaliamo-los no ponto (1,0,-1):
\nabla F_{1}(1,0,-1) = (2\cdot1,\,-2\cdot0,\,1) = (2,0,1),
\nabla F_{2}(1,0,-1) = (2\cdot1,\,2\cdot0,\,0) = (2,0,0).

Passo 4

O vetor tangente \mathbf{t} é o produto vetorial
\mathbf{t} = \nabla F_{1}(1,0,-1) \times \nabla F_{2}(1,0,-1) = (2,0,1) \times (2,0,0).
Calculando componente a componente,
\mathbf{t} = \bigl(0\cdot0 - 1\cdot0,\;1\cdot2 - 2\cdot0,\;2\cdot0 - 0\cdot2\bigr) = (0,2,0).

Passo 5

Uma forma de parametrizar a reta tangente com ponto (1,0,-1) e direção (0,2,0) é
\ell(t) = (1,0,-1) + t\,(0,2,0) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x(t) = 1,\\\ y(t) = 2t,\\\ z(t) = -1. \end{cases}

Resposta

A reta tangente é
\ell(t) : \begin{cases} x = 1,\\\ y = 2t,\\\ z = -1. \end{cases}

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