Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra 1 / 3 de Simpson Repetida de modo a obter uma aproximação de -0,75+1
I=\int_{-0,75} e^{x^{2}} d x com erro inferior a 0,01 . Coloque o valor aproximado I no campo abaixo.
Resposta: \square

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos aproximar
I = \int_{-0,75}^{1} e^{x^2}\,dx
usando a regra composta de Simpson 1/3 com n subintervalos ( n par) de modo que o erro seja menor que 0,01. Para isso vamos usar o critério de erro
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\,\max_{\xi\in[a,b]}\bigl|f^{(4)}(\xi)\bigr|,
onde h=(b-a)/n e f(x)=e^{x^2}.

Passo 2

Calculamos a quarta derivada de f:
f^{(4)}(x) = \bigl(16x^4 + 48x^2 + 12\bigr)\,e^{x^2}.
No intervalo [-0,75,1], f^{(4)}(x) é máximo em x=1, isto é
\max_{\xi\in[-0,75,1]}f^{(4)}(\xi) = \bigl(16\cdot1^4 + 48\cdot1^2 +12\bigr)e^{1} = 76\,e.

Passo 3

Aplicando o critério de erro composto de Simpson:
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{1,75}{180}\,\Bigl(\frac{1,75}{n}\Bigr)^{4}\,(76\,e) = \frac{76\,e\,(1,75)^5}{180\,n^4}.
Como (1,75)^5\approx16,413 e e\approx2,718, o numerador vale aproximadamente 3,395, logo
\bigl|E_S\bigr|\lesssim \frac{18,866}{n^4}.
Queremos \bigl|E_S\bigr|<0,01, ou seja
\frac{18,866}{n^4}<0,01 \quad\Longrightarrow\quad n^4>1886,6 \quad\Longrightarrow\quad n>6,59.
Como n deve ser par, o menor valor possível é n=8.

Passo 4

Com n=8 temos h=(1-(-0,75))/8=0,21875. Os nós são
x_i = -0,75 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,8,
e f(x_i)=e^{x_i^2}. Aplicando a fórmula composta de Simpson
I\approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+2f(x_6)+4f(x_7)+f(x_8)\bigr].
Numericamente isso fornece
I\approx2,3813
com erro garantido inferior a 0,01.

Resposta

2,3813

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