Calcule as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
integral0^pi2 raizcos x sen^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = integral0^pi2 raizcos x,sin^3x ,dx
usando integração por partes para reduzir essa integral a outra mais simples.

Passo 2

Escolhemos as funções para a parte de integração por partes:
u = (cos x)^1/2,sin^2x, dv = sin x,dx
Então
du = l[-tfrac12,sin^3x(cos x)^1/2 ;+; 2,sin x,(cos x)^3/2r]dx, v = -cos x
Pela fórmula
I = integral0^pi2u,dv = l[u,vr]0^pi2 - integral0^pi2v,du,
o termo de contorno l[u,vr]0^pi/2 vale zero. Substituindo du obtemos
I = -tfrac12integral0^pi2sin^3x,(cos x)^1/2,dx +2integral0^pi2sin x,(cos x)^5/2,dx = -tfrac12,I ;+;2,W,
onde definimos
W = integral0^pi2sin x,(cos x)^5/2,dx
Logo
tfrac32,I = 2,W Longrightarrow I = tfrac43,W

Passo 3

Calculamos W por substituição u = cos x, du = -sin x,dx. Quando x vai de 0 a pi/2, u vai de 1 a 0. Assim,
W = integral0^pi2sin x,(cos x)^5/2,dx = integral1^0u^5/2(-du) = integral0^1u^5/2,du = l[tfracu^7/27/2r]0^1 = tfrac27

Passo 4

Substituindo em I = tfrac43,W, temos
I = tfrac43 cdot tfrac27 = tfrac821

Resposta

821

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