Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{2 x-1}{(5 x+2)(x-1)} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x-1}{(5x+2)(x-1)}\,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo aqui é decompor a fração racional em somatório de termos mais simples e depois integrar cada um.

Passo 2

Suponha que
\frac{2x-1}{(5x+2)(x-1)} \;=\; \frac{A}{5x+2} \;+\; \frac{B}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (5x+2)(x-1), obtemos a identidade
2x - 1 = A(x-1) + B(5x+2).

Passo 3

Expanda o lado direito:
A(x-1) + B(5x+2) = Ax - A + 5Bx + 2B = (A + 5B)\,x + (-A + 2B).
Comparando coeficientes com 2x - 1, temos o sistema
\begin{cases} A + 5B = 2,\\\\ -\,A + 2B = -1. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação A = 2 - 5B. Substituindo na segunda:
-(2 - 5B) + 2B = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2 + 5B + 2B = -1 \quad\Longrightarrow\quad 7B = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{7}.
Então A = 2 - 5\cdot\tfrac{1}{7} = \tfrac{14-5}{7} = \tfrac{9}{7}.

Passo 5

Substituindo A e B na integral:
\int \frac{2x-1}{(5x+2)(x-1)}\,dx = \int \Bigl(\frac{9/7}{5x+2} + \frac{1/7}{x-1}\Bigr)\,dx = \frac{1}{7}\int \Bigl(\frac{9}{5x+2} + \frac{1}{x-1}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{9}{5x+2}\,dx = \frac{9}{5}\ln\bigl|5x+2\bigr|, \qquad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr|.
Logo,
\int \frac{2x-1}{(5x+2)(x-1)}\,dx = \frac{1}{7}\Bigl(\frac{9}{5}\ln\bigl|5x+2\bigr| + \ln\bigl|x-1\bigr|\Bigr) + C.

Resposta

\frac{9}{35}\,\ln\bigl|5x+2\bigr| \;+\; \frac{1}{7}\,\ln\bigl|x-1\bigr| \;+\; C.

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