Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{-1}^{2}\left(3 x^{5}+2 x^{2}-\frac{1}{x}\right) d x;

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\bigl(3x^{5}+2x^{2}-\tfrac1x\bigr)\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Note que tem um termo \tfrac1x e, como o intervalo [-1,2] passa por x=0, a integral é imprópria: precisamos dividir em duas e verificar se faz sentido (i.e., se converge).

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) de f(x)=3x^{5}+2x^{2}-\tfrac1x.
Para isso:
  • \displaystyle\int3x^{5}\,dx = \tfrac{3x^{6}}6 = \tfrac{x^{6}}2.
  • \displaystyle\int2x^{2}\,dx = \tfrac{2x^{3}}3.
  • \displaystyle\int\bigl(-\tfrac1x\bigr)\,dx = -\ln|x|.
    Logo, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{6}}2+\frac{2x^{3}}3-\ln|x|.

Passo 3

Como f não está definida em x=0, escrevemos
\int_{-1}^{2}f(x)\,dx =\lim_{a\to0^-}\int_{-1}^{a}f(x)\,dx +\lim_{b\to0^+}\int_{b}^{2}f(x)\,dx.
Em cada parte usamos F(x):
\int_{-1}^{a}f(x)\,dx = F(a)-F(-1), \qquad \int_{b}^{2}f(x)\,dx = F(2)-F(b).

Passo 4

Vamos examinar o primeiro limite:
\lim_{a\to0^-}\bigl[F(a)-F(-1)\bigr] =\lim_{a\to0^-}\Bigl(\tfrac{a^{6}}2+\tfrac{2a^{3}}3-\ln|a|\Bigr) -\Bigl(\tfrac{(-1)^{6}}2+\tfrac{2(-1)^{3}}3-\ln|{-1}|\Bigr).
Quando a\to0^-, os termos a^{6} e a^{3} vão para 0, mas -\ln|a|\to+\infty. Então
\lim_{a\to0^-}\bigl[F(a)-F(-1)\bigr]=+\infty.
Isso já mostra que a integral diverge (não importa o que aconteça na parte de 0^+).

Passo 5

Como uma das partes diverge para +\infty, a integral imprópria \displaystyle\int_{-1}^{2}\bigl(3x^{5}+2x^{2}-\tfrac1x\bigr)\,dx
não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe como número finito).

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