4.8 Calcule as seguintes integrais utilizando a mudança de variável adequada.
u=e^t Rightarrow d u=e^t d t ; t=ln (34) Rightarrow u=34 ; t=ln (43) Rightarrow u=43
Solução: Faremos a seguinte substituição
integralln (34)^ln (43) e^t(1+e^2 t)^32 d t=integral34^43 d u(1+u^2)^32
Então, escrevemos
u=tg theta Rightarrow d u=sec ^2 theta d theta ; u=34 Rightarrow theta=arctg(34) ; u=43 Rightarrow theta=arctg(43)
Agora, para resolvermos esta integral, faremos a seguinte substituição
integral34^43 d u(1+u^2)^32 & =integralarctg(34)^arctg(43) sec ^2 d thetaraiz(1+tg^2 theta)^3 & =integralarctg(34)^arctg(43) d thetasec theta & =integralarctg(34)^arctg(43) cos theta d theta & =(sen theta)|arctg(34) ^arctg(43) & =sen(arctg(43))-sen(arctg(34)) & =15
Então,
integralln (34)^ln (43) e^t(1+e^2 t)^32 d t=15
Logo,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralln(3/4)^ln(4/3) e^tl(1+e^2tr)^3/2,dt. O conteúdo envolve mudança de variável (substituição simples e depois trigonométrica) para simplificar a forma e permitir a integração.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=e^t. Daí du=e^tdt. Quando t=ln(3/4), temos u=3/4; e quando t=ln(4/3), temos u=4/3.
Substituindo na integral original obtemos

Passo 3

Para resolver integral3/4^4/3 (1+u^2)^-3/2du, usamos a substituição trigonométrica u=tantheta, logo du=sec^2theta,dtheta. Os limites viram theta1=arctan(3/4) e theta2=arctan(4/3).
No integrando, observe que 1+tan^2theta=sec^2theta, então

Passo 4

Integrando costheta sintheta. Então

Passo 5

Para calcular sin(arctan(a)), lembramos que num triângulo com ângulo theta=arctan(a), temos cateto oposto a e adjacente 1, então hipotenusa raiz1+a^2. Logo

Passo 6

Aplicando com a=4/3 e a=3/4 vem

Passo 7

Portanto a diferença é 4/5 - 3/5 = 1/5, que é o valor da integral original.

Resposta

1/5

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