4.8 Calcule as seguintes integrais utilizando a mudança de variável adequada.
Solução: Faremos a seguinte substituição
Então, escrevemos
Agora, para resolvermos esta integral, faremos a seguinte substituição
Então,
Logo,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo envolve mudança de variável (substituição simples e depois trigonométrica) para simplificar a forma e permitir a integração.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
. Daí
. Quando
, temos
; e quando
, temos
.
Substituindo na integral original obtemos
Substituindo na integral original obtemos
Passo 3
Para resolver
, usamos a substituição trigonométrica
, logo
. Os limites viram
e
.
No integrando, observe que , então
No integrando, observe que
Passo 4
Integrando
dá
. Então
Passo 5
Para calcular
, lembramos que num triângulo com ângulo
, temos cateto oposto
e adjacente
, então hipotenusa
. Logo
Passo 6
Aplicando com
e
vem
Passo 7
Portanto a diferença é
, que é o valor da integral original.