5.5 Encontre todos os pontos críticos da função f(x, y)= x^3+y^3-3 x-12 y+20 no plano e classifique-os. Existe um máximo global ou mínimo global entre eles?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar todos os pontos críticos de f(x,y)=x³+y³−3x−12y+20 no plano e classificá-los. Para isso vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e a matriz Hessiana para determinar se são mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calcular o gradiente de f e igualar a zero. As derivadas parciais são
partial fpartial x=3x^2-3,
partial fpartial y=3y^2-12
Igualando a zero:
3x^2-3=0implies x^2=1implies x=pm1,
3y^2-12=0implies y^2=4implies y=pm2
Logo os pontos críticos são (1,2), (1,−2), (−1,2) e (−1,−2).

Passo 3

Construir e avaliar a Hessiana em cada ponto. A Hessiana é
H(x,y)=6x & 00 & 6y
Em (1,2): autovalores 6>0 e 12>0 ⇒ mínimo local.
Em (1,−2): autovalores 6>0 e −12<0 ⇒ ponto de sela.
Em (−1,2): autovalores −6<0 e 12>0 ⇒ ponto de sela.
Em (−1,−2): autovalores −6<0 e −12<0 ⇒ máximo local.

Passo 4

Verificar existência de extremos globais. Como f(x,y)→∞ quando x,y→∞ e f(x,y)→−∞ quando x,y→−∞, não há valor mínimo ou máximo global finito.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(1,2): mínimo local
(1,−2): ponto de sela
(−1,2): ponto de sela
(−1,−2): máximo local
Não existe mínimo nem máximo global.

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