- Determine o volume do sólido limitado por uma casca esférica de raio 2 , centrada na origem, e outra esfera de raio 1 centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o volume do sólido limitado pela esfera de raio 2 centrada na origem e pela esfera de raio 1 centrada em P(0,0,2). O conteúdo envolve interseção de esferas e cálculo de volumes de calotas esféricas.
Passo 2
O sólido é justamente a região comum às bolas B(O,2) e B(P,1). Aqui temos raios R=2 e r=1, e a distância entre os centros é d=2.
Passo 3
Para usar calotas esféricas, primeiro encontramos a posição do plano que separa as duas regiões, a uma distância x do centro da esfera maior. Esse x satisfaz
substituindo R=2, r=1 e d=2, obtemos x=7/4 e, portanto, d−x=1/4.
Passo 4
As alturas das calotas nas duas esferas são então
Passo 5
O volume de uma calota esférica de raio R e altura h é dado por
Passo 6
Assim, o volume da calota na esfera maior vale
e na esfera menor
Passo 7
Somando as duas calotas, o volume da interseção é V=V_1+V_2=\frac{23\pi}{192}+\frac{81\pi}{192}=\frac{104\pi}{192}=\frac{13\pi}{24}.