1. Determine o volume do sólido limitado por uma casca esférica de raio 2 , centrada na origem, e outra esfera de raio 1 centrada em P(0,0,2).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do sólido limitado pela esfera de raio 2 centrada na origem e pela esfera de raio 1 centrada em P(0,0,2). O conteúdo envolve interseção de esferas e cálculo de volumes de calotas esféricas.

Passo 2

O sólido é justamente a região comum às bolas B(O,2) e B(P,1). Aqui temos raios R=2 e r=1, e a distância entre os centros é d=2.

Passo 3

Para usar calotas esféricas, primeiro encontramos a posição do plano que separa as duas regiões, a uma distância x do centro da esfera maior. Esse x satisfaz
x=d^2+R^2-r^22d,
substituindo R=2, r=1 e d=2, obtemos x=7/4 e, portanto, d−x=1/4.

Passo 4

As alturas das calotas nas duas esferas são então
h1=R-x=2-74=14,
h2=r-(d-x)=1-14=34

Passo 5

O volume de uma calota esférica de raio R e altura h é dado por
Vcalota=pi h^2(3R-h)3

Passo 6

Assim, o volume da calota na esfera maior vale
V1=pi (tfrac14)^2l(3cdot2-tfrac14r)3=picdottfrac116cdottfrac2343=23pi192,
e na esfera menor
V2=pi(tfrac34)^2l(3cdot1-tfrac34r)3=picdottfrac916cdottfrac943=81pi192

Passo 7

Somando as duas calotas, o volume da interseção é V=V_1+V_2=\frac{23\pi}{192}+\frac{81\pi}{192}=\frac{104\pi}{192}=\frac{13\pi}{24}.

Resposta

dfrac13pi24

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