Estudar as funções seguintes (dominio, paridade, variações (crescente/decrescente), limitada por cima/baixo) :
-pi / 2, pi / 2 em

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a função f3(x)=cos(x)1+x^2 no intervalo [-pi/2,,pi/2], determinando domínio, paridade, monotonicidade (crescimento/decrescimento) e limites superior/inferior.

Passo 2

Como o denominador 1+x^2 é sempre positivo para todo xinR, o domínio de f3 é R. Mas como estamos restritos a [-pi/2,,pi/2], então o domínio de estudo é exatamente esse intervalo.

Passo 3

Para verificar paridade, calculamos f3(-x)=cos(-x)1+(-x)^2=cos(x)1+x^2=f3(x). Logo, f3 é função par.

Passo 4

Para estudar variações, derivamos f3:
f3'(x)=-sin(x)(1+x^2)-cos(x)cdot2x(1+x^2)^2
O numerador é
N(x)=-(1+x^2)sin(x)-2xcos(x)
Zerando N(x) obtém-se sin(x)(1+x^2)+2xcos(x)=0, cuja única solução em [-pi/2,,pi/2] é x=0. Para x>0, N(x)<0 implica f3'<0 (decrescente); para x<0, N(x)>0 implica f3'>0 (crescente).

Passo 5

Como f3 é contínua em um intervalo fechado, atinge extremos nos pontos críticos e nas bordas. Temos:
x=0
x=pmpi/2
Portanto o máximo vale 1 em e o mínimo vale 0 em , mostrando que a função é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Resposta

Domínio em estudo: [-\pi/2,,\pi/2]; Paridade: par; Crescente em [-\pi/2,,0] e decrescente em [0,,\pi/2]; Limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Exercícios relacionados