4.8 Calcule as seguintes integrais utilizando a mudança de variável adequada.
Solução: Faremos a seguinte substituição
Então, escrevemos
Passo 1
O enunciado pede para calcular integral0^1 1(4 - x^2)^3/2,dx. Isso é uma integral imprópria de função com raiz quadrada no denominador, típica de substituição trigonométrica do tipo a^2-x^2. Vamos usar essa ideia para simplificar.
Passo 2
Escolhemos a substituição x = 2sintheta, porque assim 4 - x^2 = 4 - 4sin^2theta = 4cos^2theta. Calculamos também dx = 2costheta,dtheta.
Passo 3
Transformamos os limites de integração em theta: quando x = 0, temos sintheta = 0 então theta = 0; quando x = 1, temos sintheta = tfrac12 então theta = tfracpi6.