4.8 Calcule as seguintes integrais utilizando a mudança de variável adequada.
x=2 sen theta Rightarrow d x=2 cos theta d theta ; x=0 Rightarrow theta=0 ; x=1 Rightarrow theta=pi6
Solução: Faremos a seguinte substituição
integral0^1 1(4-x^2)^32 d x & =integral0^pi / 6 2 cos theta d thetaraiz(4-(2 sen theta)^2)^3 & =14 integral0^pi / 6 sec ^2 theta d theta & =14(tg theta)|0 ^pi / 6 & =14(raiz33-0) & =raiz312
Então, escrevemos

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1 1(4 - x^2)^3/2,dx. Isso é uma integral imprópria de função com raiz quadrada no denominador, típica de substituição trigonométrica do tipo a^2-x^2. Vamos usar essa ideia para simplificar.

Passo 2

Escolhemos a substituição x = 2sintheta, porque assim 4 - x^2 = 4 - 4sin^2theta = 4cos^2theta. Calculamos também dx = 2costheta,dtheta.

Passo 3

Transformamos os limites de integração em theta: quando x = 0, temos sintheta = 0 então theta = 0; quando x = 1, temos sintheta = tfrac12 então theta = tfracpi6.

Passo 4

Agora reescrevemos a integral em theta:
integral0^1 1(4 - x^2)^3/2,dx = integral0^pi/6 1l(4cos^2thetar)^3/2 ;l(2costheta,dthetar)

Passo 5

Sabendo que (4cos^2theta)^3/2 = 8cos^3theta, o integrando fica
2costheta8cos^3theta = 14cos^2theta = 14sec^2theta

Passo 6

Portanto a integral vira
integral0^pi/6 14sec^2theta,dtheta = 14 integral0^pi/6 sec^2theta,dtheta

Passo 7

Como integral sec^2theta,dtheta = tantheta, temos
14 l[tanthetar]0^pi/6 = 14l(tan(tfracpi6) - tan(0)r) = 14l(tfrac1raiz3 - 0r)

Passo 8

Simplificando, obtemos o resultado final.

Resposta

raiz312

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