Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
\int \sqrt{e^{x}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \sqrt{e^{x}+1}\,dx.
Informações dadas: a integral indefinida da função x\mapsto\sqrt{e^{x}+1}. Não há outros dados nem condições iniciais — queremos uma antiderivada geral com constante de integração.

Passo 2

Motivação da substituição: aqui a raiz quadrada envolve e^{x}+1. Uma escolha natural é isolar essa raiz com uma nova variável para simplificar a expressão. Façamos a substituição
t=\sqrt{e^{x}+1}.
Vou transformar a integral completamente em termos de t.

Passo 3

A relação entre t e x: elevando ao quadrado obtemos
t^{2}=e^{x}+1\quad\Rightarrow\quad e^{x}=t^{2}-1.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (ou usando regra da cadeia com t dependente de x),
2t\,dt = e^{x}\,dx.
Isolando dx,
dx=\frac{2t\,dt}{e^{x}}=\frac{2t\,dt}{t^{2}-1}.

Passo 4

Substituindo na integral original: como \sqrt{e^{x}+1}=t e dx=\dfrac{2t\,dt}{t^{2}-1}, temos
\int \sqrt{e^{x}+1}\,dx = \int t\cdot\frac{2t\,dt}{t^{2}-1} = \int \frac{2t^{2}}{t^{2}-1}\,dt.

Passo 5

Simplifique a fração racional:
\frac{2t^{2}}{t^{2}-1} = 2 + \frac{2}{t^{2}-1},
porque 2t^{2}=2(t^{2}-1)+2. Assim a integral separa-se:
\int \frac{2t^{2}}{t^{2}-1}\,dt = \int 2\,dt + \int \frac{2}{t^{2}-1}\,dt.

Passo 6

Integre a primeira parcela facilmente:
\int 2\,dt = 2t.

Passo 7

Para a segunda parcela faça frações parciais em \dfrac{1}{t^{2}-1}. Escrevemos
\frac{1}{t^{2}-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}.
Multiplicando por t^{2}-1=(t-1)(t+1) obtemos
1=A(t+1)+B(t-1).
Tomando t=1 1=2A\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}. Tomando t=-1 1=-2B\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{1}{t^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right).
Multiplicando por 2,
\frac{2}{t^{2}-1}=\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}.

Passo 8

Integre a expressão obtida:
\int \frac{2}{t^{2}-1}\,dt = \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)dt = \ln|t-1|-\ln|t+1| = \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|.

Passo 9

Juntando as partes integradas:
\int \frac{2t^{2}}{t^{2}-1}\,dt = 2t + \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + C.

Passo 10

Volte à variável x usando t=\sqrt{e^{x}+1}. Assim a antiderivada geral é
2\sqrt{e^{x}+1} + \ln\left|\frac{\sqrt{e^{x}+1}-1}{\sqrt{e^{x}+1}+1}\right| + C.

Resposta

2\sqrt{e^{x}+1} + \ln\left|\dfrac{\sqrt{e^{x}+1}-1}{\sqrt{e^{x}+1}+1}\right| + C

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