Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes: \int \sqrt{e^{x}+1} d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \sqrt{e^{x}+1}\,dx.
Informações dadas: a integral indefinida da função x\mapsto\sqrt{e^{x}+1}. Não há outros dados nem condições iniciais — queremos uma antiderivada geral com constante de integração.
Passo 2
Motivação da substituição: aqui a raiz quadrada envolve e^{x}+1. Uma escolha natural é isolar essa raiz com uma nova variável para simplificar a expressão. Façamos a substituição
t=\sqrt{e^{x}+1}.
Vou transformar a integral completamente em termos de t.
Passo 3
A relação entre t e x: elevando ao quadrado obtemos
t^{2}=e^{x}+1\quad\Rightarrow\quad e^{x}=t^{2}-1.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (ou usando regra da cadeia com t dependente de x),
2t\,dt = e^{x}\,dx.
Isolando dx,
dx=\frac{2t\,dt}{e^{x}}=\frac{2t\,dt}{t^{2}-1}.
Passo 4
Substituindo na integral original: como \sqrt{e^{x}+1}=t e dx=\dfrac{2t\,dt}{t^{2}-1}, temos